Теоретически, думаю, можно поступить на работу в школу без пед. образования. Но скорее всего, такое возможно в школе какого-нибудь маленького города или в деревне, если там очень требуется учитель химии. Но без пед образования всё-таки будет трудно работать. А без постоянного повышения квалификации очевидно невозможно будет рассчитывать на повышение по службе и повышение зарплаты (но это касается и педагогов по образованию). А если будете поступать на второе высшее, то перезачесть уже сданные предметы вполне могут.