Думаю, что зависит от самой олимпиады. Возможно у каждой из них свой формат проведения и рекламент участия. Где-то можно только школьникам, где-то ученикам ссузов. Какая тебя олимпиада интересует?

Химия, биология, русский язык.

По общеобразовательным школьным дисциплинам я думаю будет можно. Но вообще надо смотреть рекламент каждой конкретной олимпиады. Ориентируйся на на предмет, который будешь сдавать, а на организатора. У каждой олимпиады есть свой организатор, например, это может быть какой-то вуз или министерство образования. Сначала выбери конкретную олимпиаду в которой хочешь принять участие и почитай для кого она предназначена: для школьников или для учеников всех учебных заведений. На сайте в разделе "Олимпиады" есть все олимпиады по которым будут принимать без ЕГЭ.